治安科主要负责管辖以下几类刑事案件及其他相关案件：
危害公共安全案件：
包括小偷小摸、打架斗殴、赌博等扰乱公共秩序的行为。
破坏社会主义市场经济秩序案件：
涉及制售假冒伪劣商品、非法经营等破坏市场经济秩序的行为。
侵犯公民人身权利、民主权利案件：
如故意伤害、非法拘禁等侵犯个人权益的行为。
妨害社会管理秩序案件：
包括非法生产、买卖警用装备等妨害社会管理的行为。
组织、利用会道门、邪教组织或利用迷信破坏国家法律实施的案件：
涉及组织、利用会道门、邪教组织或利用迷信破坏国家法律、法规实施的案件。
总结来说，治安科管辖的案件主要涉及公共安全、市场经济秩序、公民权益和社会管理等方面，具体案件类型包括扰乱公共秩序、破坏市场经济秩序、侵犯公民人身权利和民主权利、妨害社会管理秩序以及涉及邪教组织的案件等。