公车私用司机的处理方式主要依据行为人的具体行为及其严重程度。以下是相关法律规定及处理建议：
一般处理
情节轻微：对于首次或轻微的公车私用行为，单位可以对其进行批评教育，责令其作出检查，并承担相应的费用。
情节较重：对于情节较重的公车私用行为，单位应当给予当事人相应的纪律处分，如警告、记过、降低岗位等级等，并要求其承担相应的费用。
情节严重：对于情节严重的公车私用行为，单位应当给予当事人更严厉的纪律处分，如记大过、降级、撤职等，并要求其承担相应的费用及追缴经济损失。
涉嫌犯罪的处理
涉嫌犯罪：若公车私用行为导致交通事故或其他严重后果，并涉嫌犯罪的，单位应当将案件移送司法机关，依法追究当事人的刑事责任。
单位内部问责
内部问责：单位除了对当事人进行纪律处分外，还应对公车私用的行为进行内部问责，包括对司机进行警告、记过、撤职等处分，甚至可能解除其公职。
经济赔偿责任
经济赔偿：单位还需承担事故的部分或全部经济赔偿责任，包括对受害者的赔偿和公车损坏的维修费用等。
建议
完善制度：单位应建立健全公务用车使用管理制度，加强对车辆使用的监督，确保公务用车仅用于公务目的。
强化教育：定期对员工进行廉洁教育和职业道德培训，提高员工对公车私用的认识和自律意识。
严格执法：对于发现的公车私用行为，应依法依规严肃处理，形成有效的威慑力。
通过以上措施，可以有效遏制公车私用行为，维护公务用车管理的秩序和社会的公共安全。