出差期间丢失手机或身份证时，可以采取以下措施进行挂失：
手机挂失
借用他人手机：立即借用同事或朋友的手机，拨打营业厅的人工客服电话，申请挂失或冻结手机号码。客服人员会根据情况冻结或挂失手机卡，防止财产损失。
营业厅挂失：携带身份证到外地营业厅申请挂失，因为手机卡通过实名认证且全国联网。
身份证挂失
户口本挂失：携带居民户口簿到常住户口所在地的公安机关申报挂失并办理补领手续。如果离开常住户口所在地，可到就近的户籍派出所或办证大厅申报挂失。
异地挂失：符合居民身份证异地受理条件的，可以在异地受理点办理补领手续。公安机关在公民提交受理登记表起的六十天内发放居民身份证。在交通不便地区，办理时间可以适当延长，但不能超过三十天。
网上挂失：可以登录“全国公安机关网上申请办理身份证遗失补办业务平台”，填写相关信息，进行网上挂失。
电话挂失：拨打公安局的110或114等电话，进行身份证挂失申报。
登报挂失：虽然登报挂失不是必须的，但建议尽快进行，以防止他人盗用身份证信息进行不法活动。登报后，应将报纸妥善保存，以备后续使用。
建议
尽快行动：无论丢失的是手机还是身份证，都应尽快采取措施挂失，以防止财产损失或身份被滥用。
携带必要证件：在挂失过程中，务必携带有效的身份证件，如身份证、户口本等，以便顺利办理挂失手续。
确认挂失方式：根据个人情况和实际需求选择最便捷的挂失方式，如网上挂失或电话挂失，以节省时间和精力。